J'aime bien les casse-têtes, surtout les problèmes de logique et les puzzles. Sur cette page:

• Le temple de la logique pure, une jolie énigme "à information minimale" que j'ai proposée dans le magazine "Echo" de Charmilles Technologies
• Une solution générale au classique problème des 12 billes de billard.
• Oskar's Cube, un joli labyrinthe en 3D

Le temple de la logique pure.

Dans un monastère retiré vivent les Adeptes de la Logique Pure. Leur vie est vouée à la réflexion et à l'étude de la Logique, et de la logique seule. Les Adeptes méprisent la communication, illogique, et donc ne se parlent ni ne s'écrivent, ni même n'échangent de l'information d'aucune manière. Leur vie sociale n'est rythmée que par le seul et unique repas qu'ils prennent quotidiennement en commun, dans un silence absolu.

Un jour cependant apparaît au beau milieu du repas la Logique elle-même, divinité éthérée et courroucée: "Certains d'entre vous ont failli à leur vœu et ont commis des actes aussi Illogiques qu'Impurs. J'ai marqué les coupables d'une marque indélébile sur le front. Ceux qui se sauront marqués feront pénitence en sautant un repas." Sur ce, elle disparaît rejoindre Aristote, Bool, Gödel et les autres.

Evidemment, chaque Adepte est interloqué et dévisage les autres, comptant les marques de ses acolytes. Mais "comment savoir si l'on est soi-même marqué ?", se demande chacun en se retirant dans sa sobre cellule, où tout miroir est évidemment proscrit. Ainsi s'achève ce qu'il est convenu d'appeler le jour zéro.

Le lendemain, tous les adeptes viennent manger, aucun n'ayant pu se convaincre qu'il est lui-même marqué. De même le second jour, puis le troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième jour, tous les adeptes sont là.

Mais le septième jour soudain, les pécheurs manquent à l'appel. Combien y'en a-t-il ? Et comment ont-ils su qu'ils étaient marqués ?

Les 12 billes de billard.

On a 12 billes de billard dont l'une est soit plus lourde soit plus légère que les 11 autres. Il'sagit de la trouver à l'aide d'une balance à fléau (qui compare le poids des boules placées sur ses deux plateaux) en 4 pesées maximum.

Solution Générale

• chaque pesée peut donner 3 résultats: équilibré (noté 0), penche à gauche (noté 1) ou penche à droite (note 2)

• comme on a 3 pesées, le résultat des 3 pesées peut être noté en ternaire (base 3) par un nombre à 3 chiffres: par exemple "201" signifie : 1^ère pesée penche à droite, seconde équilibrée, troisième à gauche.

•  Entre parenthèses, l'information contenue dans ce nombre est suffisante pour que l'on puisse distinguer à la fois quelle boule est truquée et dans quel sens : en effet il y a 3^3=27 combinaisons de pesées possible alors qu'il y a 12*2=24 possibilités de solutions.

• Il suffit donc de "coder" les 12 balles par deux nombres en base 3, l'un donnant la séquence de pesée correspondant si la balle en question est trop lourde, l'autre la séquence correspondant à une bille trop légère. Evidemment, ces deux nombres en ternaire doivent êtres tels que les 1 du premier nombre sont des 2 dans le second et vice versa. De plus, il faut veiller à ce que le nombre de "1" dans chaque colonne des nombres ternaires corrresponde au nombre de "2". Voici un codage possible:

• En lisant la table, on détermine les 3 pesées à effectuer de la manière suivante : si le chiffre correspondant du code "trop lourde" est un 1, la bille est placée à gauche, si c'est un 2 elle est placée à droite, si c'est un 0 elle n'est pas présente dans la pesée:
  

• Si vous ne croyez pas la démonstration ci-dessus, il ne reste plus qu'à vérifier de la manière suivante. par exemple:

1. Si la bille 10 est trop légère, alors en consultant la table des pesées on voit que la balance penchera à gauche à la première pesée, à gauche à la seconde et à droite à la troisième, ce qui donne "112". En regardant la table des codes on voit que "112" correspond effectivement à "bille 10 trop légère".

2. Si les trois pesées penchent successivement à droite, puis à gauche, puis est équilibrée (code 210), on voit dans la table des codes que ça correspond à "bille 11 trop lourde". En consultant la table des pesées, on voit que la bille 11 est effectivement à droite à la première pesée, à gauche à la seconde et n'apparaît pas à la troisième.

• Pour voir si vous avez compris, montrez qu'avec 5 pesées on peut trouver une bille truquée parmi 39…

Oskar's Cube

C'est un joli gadget bon marché en plastique : les faces d'un cube sont des labyrinthes emprisonnant une croix qu'il s'agit de déplacer en passant successivement par les 8 angles.

J'ai fait un modèle 3D du cube avec Autocad qui met en évidence le labyrinthe interne par lequel passe le centre de la croix, ce qui aide à visualiser la solution...